양자역학에서 필수적인 파동함수를 해석하는 데에는 두가지 시각이 있다. 첫째는 파동함수가 물리적 실체라는 것이고 두번째는 파동함수 자체가 존재하는것이 아니라 파동함수는 macroscopic하게 관측을 할때 통계적으로 값을 주는 변수에 불과하다는 주장이다. 즉 이 두번째 주장은, 파동함수는 실제 통계적인 추측보다 많은것을 담고 있으므로 뭔가 정보가 더 있다는 시각이다.
이 논문은 두번째 시각이 틀렸다는것을 증명한다. 증명 자체는 간단하다. 먼저, 어떤 물리계의 실제 물리적 실체를 생각해보자. 만약 첫번째 시각이 맞다면, 실제 물리적 실체는 파동함수를 포함할 것이고 따라서 파동함수가 다르다면 물리적 실체도 다를것이다. 하지만 두번째 시각이 맞다면, 물리적 실체가 같지만 우리가 식으로 쓴 파동함수는 다를수가 있다.
예를들어 \(|\phi> = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0>+|1>)\) 의 경우 "얘는 그냥 \(|0>, |1>\) basis로 관측했을때 1/2확률로 1이고 1/2의 확률로 0이 나오는 상태이다." 라는 시각이 있다고 하자. 그러면 이런 통계적인 주장은 \(|\phi> = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0>-|1>)\)에도 똑같이 적용된다. 즉, 우리가 식으로쓴 파동함수가 다른것이다. 이것은 꼭 이런종류의 주장 뿐만 아니라 더 강한 통계적인 주장(파동함수에 대한 정보를 좀더 많이 담은)에 적용된다.
즉, 실제 물리계는 통계적으로 완벽히 기술되는데 반해 파동함수는 통계적인 추측보다 더 많은것을 담고있기 때문에, 뭔가 정보의 잉여가 생기고 따라서 같은 물리계를 기술할수 있는 다른 파동함수가 존재한다는 것이다. 논문은 classical analogy를 들어 설명하는데 그것도 덧붙인다.
이 논문은 두번째 시각이 틀렸다는것을 증명한다. 증명 자체는 간단하다. 먼저, 어떤 물리계의 실제 물리적 실체를 생각해보자. 만약 첫번째 시각이 맞다면, 실제 물리적 실체는 파동함수를 포함할 것이고 따라서 파동함수가 다르다면 물리적 실체도 다를것이다. 하지만 두번째 시각이 맞다면, 물리적 실체가 같지만 우리가 식으로 쓴 파동함수는 다를수가 있다.
예를들어 \(|\phi> = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0>+|1>)\) 의 경우 "얘는 그냥 \(|0>, |1>\) basis로 관측했을때 1/2확률로 1이고 1/2의 확률로 0이 나오는 상태이다." 라는 시각이 있다고 하자. 그러면 이런 통계적인 주장은 \(|\phi> = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0>-|1>)\)에도 똑같이 적용된다. 즉, 우리가 식으로쓴 파동함수가 다른것이다. 이것은 꼭 이런종류의 주장 뿐만 아니라 더 강한 통계적인 주장(파동함수에 대한 정보를 좀더 많이 담은)에 적용된다.
즉, 실제 물리계는 통계적으로 완벽히 기술되는데 반해 파동함수는 통계적인 추측보다 더 많은것을 담고있기 때문에, 뭔가 정보의 잉여가 생기고 따라서 같은 물리계를 기술할수 있는 다른 파동함수가 존재한다는 것이다. 논문은 classical analogy를 들어 설명하는데 그것도 덧붙인다.
동전을 던지는 두가지 방법이 있다고 가정하자. 만약 이때 동전을 던져서 나오는 결과의 통계적 분포가 실제 물리적인 실체고, 동전의 위치, 운동량 등은 실제 물리적인 실체가 아니라고 가정하자. 두가지 방법 모두 앞면이 나올 가능성이 0이 아니라고 하자. 그러면 동전을 던져 앞면이 나온 경우 이것이 첫번째 방법을 써서 던진건지 두번째 방법을 써서 던진건지 알수가 없다. 따라서 두가지 방법의 결과가 compatible하다.
즉, 어떠한 물리적 실체가 완벽히 통계적이라면, 그 실체의 특정한 시행에 대한 값은 이것도 가능하고 저것도 가능하다는 것이다. 여기까지 왔으면 결론은 쉽다. 이제 양자상태를 준비하자. 동전을 던질때와 마찬가지로 두가지 방법으로 양자상태를 준비하자. 첫번째 방법은 \( |\phi_0> = |0>\)를 준비하고, 두번째 방법은 \(|\phi_1> = |+> = (|0>+|1>)/\sqrt{2}\) 를 준비한다. 실제 물리적인 실체과 완벽히 통계적이라면, 측정 결과가 이 두 방법중 무엇을 썼는지 알수 없을 확률이 있을것이다. 그 확률을 \(q\)라고 하자.
그러면 준비는 끝났다. 이 준비하는 기계를 두개를 놓고 그것을 한곳에서 측정하자. 그러면 일단 측정기계에 도달했을때 상태는 \(|0>\otimes|0>\), \(|0>\otimes|+>\), \(|+>\otimes|0>\), \(|+>\otimes|+>\) 네개중에 하나일것이다. 그리고 \(q^2\)의 확률로 네 상태가 compatible할 것이다.
그런데 다음 basis로 측정하는 경우를 살펴보자.
$$
|\xi_1> = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0>\otimes|1> + |1>\otimes |0>),
$$$$
|\xi_2> = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0>\otimes|-> + |1>\otimes |+>),
$$$$
|\xi_3> = \frac{1}{\sqrt{2}}(|+>\otimes|1> + |->\otimes |0>),
$$$$
|\xi_4> = \frac{1}{\sqrt{2}}(|+>\otimes|-> + |->\otimes |+>),
$$
이때 \(|-> = (|0> - |1>)/\sqrt{2}\)이다. 하지만 이 경우 첫번째 상태\(|0>\otimes|0>\)를 basis의 첫번째 원소로 측정하면 결과는 0이다. 두번째 상태는 두번째 원소로 측정하면 0 이고 세번째와 네번째도 마찬가지이다. 따라서 모순이 발생한다. \(q^2\)의 확률로 우리는 네가지 상태가 모두 물리적 실체와 compatible해야 하는데 측정을 하면 우리는 무슨 state가 맞는지 알 수 있다. 따라서 물리적 실체가 순수히 통계적이고 상태벡터는 그것을 표현하는 수단이지 물리적 실체가 아니라는 주장은 잘못된 것이다.
여기까지가 논문의 앞 2페이지 요약이고 뒤에는 이것을 일반적인 상태에 대해서 일반화 시키는 내용과 실험적 오차를 고려하는 상황이다. 요 아래는 개인적인 comment.
이게 contextuallity와 별로 다른 개념은 아닌것 같은데 아직을 잘 모르겠고, 항상 양자역학이 고전적인 해석이랑 다르다는 데에는 entanglement가 관여하는 것을 봐서 뭔가 entanglement가 정말로 고전적으로 nontrivial한 것인것 같다. 뭔가 이와 관련된 공부를 좀 해봐야 할듯.
